Lô gan cực đại là số kỳ liên tiếp dài nhất mà một số hai chữ số từng vắng mặt trên bảng loto, tính trong phạm vi dữ liệu mà người lập bảng có. Nếu số 37 từng có một đợt 28 kỳ liền không về và chưa đợt nào dài hơn, thì gan cực đại của 37 trong bộ dữ liệu đó là 28. Đó là một kỷ lục đã xảy ra. Nó không phải trần, không phải hạn chót, và không cho biết gì về kỳ quay tới.
Khái niệm lô gan và cách đếm số kỳ gan đã có ở bài lô gan là gì. Bài này chỉ bàn riêng cột “cực đại”, cột bị hiểu sai nhiều nhất trên bảng.
Hai con số cạnh nhau trên bảng
Bảng lô gan thường đặt hai cột kề nhau: “gan hiện tại” (số đó đang vắng bao nhiêu kỳ) và “gan cực đại” (đợt vắng dài nhất trong lịch sử dữ liệu). Cách bày này mời gọi một phép so sánh: gan hiện tại 22, cực đại 25, vậy “chỉ còn 3 kỳ nữa là phải về”. Phép so sánh đó sai ở chỗ coi kỷ lục như một bức tường. Kỷ lục nào cũng từng bị phá bởi chính đợt gan tạo ra nó.
Còn một chi tiết ít người để ý: gan cực đại phụ thuộc vào việc dữ liệu bắt đầu từ năm nào. Hai trang lập bảng từ hai mốc khác nhau có thể đưa ra hai con số cực đại khác nhau cho cùng một số, và cả hai đều đúng với dữ liệu của mình. Vì vậy bài này không nêu con số kỷ lục thực tế nào; muốn dùng thì phải biết nó được tính từ bao nhiêu kỳ.
Xác suất một số vắng n kỳ liên tiếp
Mỗi kỳ miền Bắc có 27 dãy số, mỗi dãy cho một cặp hai số cuối với 100 khả năng ngang nhau. Xác suất một số cụ thể không xuất hiện trong cả 27 dãy là 0,99^27 ≈ 0,762. Các kỳ độc lập nhau nên xác suất vắng n kỳ liền là 0,762^n.
| Số kỳ vắng liên tiếp (n) | Xác suất 0,762^n | Diễn giải | Số lượng kỳ vọng trong 100 số |
|---|---|---|---|
| 5 | ≈ 25,7% | khoảng 1 trên 4 | ≈ 25,7 số |
| 10 | ≈ 6,6% | khoảng 1 trên 15 | ≈ 6,6 số |
| 20 | ≈ 0,44% | khoảng 1 trên 230 | ≈ 0,44 số |
| 30 | ≈ 0,029% | khoảng 1 trên 3.400 | ≈ 0,03 số |
Cột cuối trả lời câu hỏi: vào một ngày bất kỳ, nhìn lên bảng thì có khoảng bao nhiêu số đang gan từ n kỳ trở lên. Luôn có chừng một phần tư bảng đang vắng 5 kỳ, sáu bảy số vắng trên 10 kỳ. Số gan 20 kỳ thì hiếm hơn hẳn: tính ra chỉ khoảng một phần ba số ngày trong năm là có ít nhất một số như vậy trên bảng.
Dữ liệu càng dài, kỷ lục càng cao
Xác suất 0,029% cho một đợt gan 30 kỳ nghe như không bao giờ xảy ra. Nhưng xổ số miền Bắc quay hằng ngày, và có tới 100 số cùng “thử vận”. Số cơ hội rất lớn, nên chuyện hiếm vẫn tới lượt.
Ước lượng như sau. Một đợt gan bắt đầu ngay sau một kỳ số đó vừa về. Xác suất số về trong một kỳ là 1 − 0,762 = 0,238. Trong N kỳ, số lần kỳ vọng một số cụ thể mở ra một đợt gan dài ít nhất n kỳ vào khoảng N × 0,238 × 0,762^n. Nhân với 100 số, ta được bảng sau (làm tròn, đây là tính toán lý thuyết chứ không phải số liệu lịch sử):
| Độ dài đợt gan | Số đợt kỳ vọng trong 1 năm (365 kỳ) | Trong 10 năm (3.650 kỳ) |
|---|---|---|
| Từ 20 kỳ | ≈ 38 | ≈ 381 |
| Từ 25 kỳ | ≈ 10 | ≈ 98 |
| Từ 30 kỳ | ≈ 2,5 | ≈ 25 |
| Từ 35 kỳ | ≈ 0,65 | ≈ 6,5 |
| Từ 40 kỳ | ≈ 0,17 | ≈ 1,7 |
Đọc bảng này ra hai điều. Một: với lồng cầu hoàn toàn công bằng, mỗi năm vẫn có vài đợt gan vượt 30 kỳ ở đâu đó trong 100 số, nên con số gan cực đại hai mươi mấy, ba mươi mấy kỳ trên bảng không có gì khác thường. Hai: kéo dữ liệu từ 1 năm lên 10 năm, mức gan mà ta “kỳ vọng thấy ít nhất một lần” tăng từ khoảng 30 lên khoảng 40 kỳ. Kỷ lục lớn dần theo thời gian quan sát; nó là thuộc tính của bộ dữ liệu nhiều hơn là của con số.
Vì sao kỷ lục cũ không nói gì về kỳ tới?
Lấy một ví dụ giả định: số 58 đang gan 24 kỳ, gan cực đại ghi nhận của nó là 26.
- Xác suất 58 về ở kỳ tới: 1 − 0,762 = 23,8%. Bằng đúng xác suất của một số vừa về hôm qua.
- Xác suất 58 vắng tiếp 3 kỳ nữa, tức phá kỷ lục 26: 0,762^3 ≈ 44,2%. Gần một nửa.
- Xác suất 58 vắng thêm 10 kỳ nữa: 0,762^10 ≈ 6,6%, y như một số bất kỳ bắt đầu đếm từ hôm nay.
Chỗ dễ lẫn nằm ở hai câu hỏi khác nhau. “Một số vắng 27 kỳ liền có hiếm không?” Có, tính từ đầu thì khoảng 0,07%. “Số đã vắng 24 kỳ rồi thì vắng thêm 3 kỳ có hiếm không?” Không, 44,2%. Phần hiếm đã xảy ra xong và nằm lại trong quá khứ. Lồng cầu ở kỳ thứ 25 được nạp đủ bóng như mọi kỳ, nó không biết số 58 đang “nợ”.
Lập luận này đúng theo cả hai chiều. Số gần chạm kỷ lục không dễ về hơn, và cũng không khó về hơn. Mọi số, ở mọi kỳ, đứng trước cùng một con số 23,8%.
Ba cách hiểu sai thường gặp
- “Cực đại là giới hạn.” Không có cơ chế nào trong buổi quay ngăn một số vắng lâu hơn kỷ lục cũ. Kỷ lục chỉ là giá trị lớn nhất đã quan sát.
- “Càng gần cực đại càng chắc.” Xác suất về mỗi kỳ không đổi. Đặt tiền tăng dần theo số kỳ gan dựa trên niềm tin này là cách thua nhanh, vì chuỗi vắng có thể kéo dài hơn nhiều so với sức chịu của túi tiền, và bảng ở trên cho thấy những chuỗi như vậy năm nào cũng có.
- “Số có cực đại thấp là số hay về.” Trong một bộ dữ liệu hữu hạn, 100 số sẽ có 100 kỷ lục khác nhau chỉ do ngẫu nhiên. Số có kỷ lục thấp hôm nay hoàn toàn có thể lập kỷ lục mới vào năm sau.
Đọc cột cực đại thế nào cho đúng?
Coi nó như một dòng chú thích lịch sử. Nó cho biết trong dữ liệu đã có, đợt vắng dài nhất của số này là bao nhiêu, kết thúc khi nào. Khi xem, nên kiểm thêm ba thứ: bảng tính trên bao nhiêu kỳ, tính cho miền Bắc hay cho một đài miền Nam, miền Trung (mỗi đài chỉ 18 dãy mỗi kỳ, xác suất vắng một kỳ là 0,99^18 ≈ 0,835 nên các đợt gan tự nhiên dài hơn nhiều), và có đếm cả kỳ nghỉ Tết hay không.
Dùng bảng gan cực đại để hình dung độ dao động của ngẫu nhiên thì hợp lý, giống cách đọc bảng tần suất loto. Dùng nó để quyết định ghi số nào, bao nhiêu tiền thì bảng không giúp được, vì thông tin cần cho việc đó, tức kết quả kỳ tới, không nằm trong bất kỳ cột nào. Dữ liệu từng kỳ để tự đối chiếu có ở trang kết quả xổ số miền Bắc. Nếu có ghi lô đề thì đó là trò chơi may rủi dành cho người từ 18 tuổi, chỉ nên ở mức tiền mất đi không ảnh hưởng tới sinh hoạt.